3.1.3 Явная и неявная разностные схемы

Уравнение (3.9) можно записать двояким образом в зависимости от того, к какому временному слою относить его левую часть. Допустим, что решение уравнения (3.8) на момент (j-1)?t уже известно. Отыскивается решение на момент j?t.

Запишем левую часть уравнения (3.9) на временном слое t=(j-1)?t:

. (3.15)

Если левую часть уравнения (3.9) записать на временном слое t=j?t ,то получим

. (3.16)

Уравнение (3.15) соответствует явной, а уравнение (3.16) - неявной разностной схеме.

Из уравнения (3.15) видно, что в него входит лишь одна неизвестная величина - p_i,j, (рисунок 3.3). Если решение задачи на слое (j-1)?t известно, то, применяя последовательно уравнение (3.15) к каждой i-й точке (с учетом граничных условий), можно отыскать искомое решение на временном слое j?t и так далее. Это поясняет, почему данная схема называется явной: уравнение (3.15) позволяет явным образом находить решение задачи в каждой i-й точке в момент j?t.

Рисунок 3.3 - Явная разностная схема

В уравнении (3.16) имеются три неизвестные величины: p_i,j, p_i+1,j, p_i-1,j (рисунок 3.4). Записав уравнение (3.16) для точек i =1,2, ... ,n-1, получим систему из п-1 уравнений с п+1неизвестными. Граничные условия в точках. i=0 и i=n дают еще два уравнения. Следовательно, для нахождения решения задачи на слое j?t требуется решить систему из n+1 алгебраических уравнений с n+1 неизвестными: p_0,j; p_1,j; p_2,j; …; p_n-1,j; p_n,j.

Рисунок 3.4 - Неявная разностная схема

Итак, использование численного метода сводит интегрирование дифференциального уравнения (3.8) при соответствующих краевых условиях к решению чисто алгебраической задачи. При этом практическое применение получила неявная схема, так как для явной схемы характерно наличие следующего ограничения на шаг по оси времени:

. (3.17)

Данное ограничение является жестким, поэтому выгодно, с точки зрения затрат времени на ЭВМ, на каждом временном слое решать систему алгебраических уравнений, используя ?t, значительно превышающий временной шаг, диктуемый неравенством (3.17) для явной схемы.