Расчет устойчивости подпорных стенок. Расчет конструкций, взаимодействующих с упругим основанием

контрольная работа

1. АНАЛИЗ ГЕОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ВКЛЮЧАЮЩИХ КОНСТРУКЦИИ НА ГРУНТОВОМ ИЛИ ПОРОДНОМ ОСНОВАНИИ

В соответствии с алгоритмом расчета, предложенным академиком А.Н. Крыловым, данный раздел курсовой работы включает следующие этапы решения поставленной задачи.

На основании исходных данных строится расчетная схема и определяются значения силовых и кинематических факторов в начальном и конечной сечениях балки.

Производится разбиение балки на участки, и вычисляются значения базовых функций и их производных.

Исходя из заданных граничных условий и на основании общих уравнений силовых и кинематических факторов, полученных А.Н. Крыловым, формируется система линейных уравнений, описывающих напряженно- деформированное состояние балки на упругом основании, и производится расчет неизвестных начальных параметров.

Определяются значения поперечных сил, изгибающих моментов и вертикальных перемещений в сечениях балки, а также величина нагрузки на упругое основание по всей длине балки, для которых строятся эпюры.

Рассмотрим балку постоянного сечения, имитируемую стержнем и лежащую на упругом основании, которое в виде опорной среды препятствует прогибам балки (рис 2.1).

На рисунке приняты следующие обозначения:

P1,P2 - действующие на балку сосредоточенные нагрузки;

и(z) - угол поворота сечения балки с координатой z;

X(z) - прогиб балки в том же сечении;

P(z) - интенсивность реактивной нагрузки или сосредоточенная реактивная сила в том же сечении; L - длина балки.

Рисунок 2.1 Балка на упругом основании

Распределенная реактивная нагрузка (или сосредоточенная реактивная сила) P(z), обусловленная сопротивлением среды, зависит от прогибов X(z)) в том же сечении, что соответствует модели "местных деформаций.

Считается, что реактивная нагрузка прямо пропорциональна перемещению балки:

P(z) = м•X(z) (2.1)

где м - коэффициент жесткости упругого основания, часто называемый "коэффициентом упругого отпора пород" и измеряемый в кН/м2.

Дифференциальное уравнение прогибов балки, называемое дифференциальным уравнением упругой линии балки, лежащей на простом упругом (Винклеровском) основании имеет вид

(2.2)

где EI(z) -изгибная жесткость балки как функция координаты z;

Е - модуль упругости материала балки;

I - момент инерции поперечного сечения балки;

q(z) - распределенная "активная" нагрузка, действующая на

балку.

Для балки постоянного сечения, когда EI=const, уравнение (2.2) преобразовывается в следующий вид

(2.3)

В соответствии с заданными параметрами строем расчетную схему (рисунок 2.2)

Академик А.Н. Крылов получил решение уравнения 2.3 через нормальные фундаментальные функции.

Для данной задачи функция будет иметь следующий вид:

(2.4)

где е(bi) - единичные разрывные функции;

К0(вz) = ch(вz)•cos(вz),

К1(вz) = (1/2)( ch(вz)•sin(вz) + sh(вz)•cos(вz)),

К2(вz) = (1/2)( sh(вz)•sin(вz)),

К3(вz) = (1/4)( ch(вz)•sin(вz) - sh(вz)•cos(вz)) - функции А.Н. Крылов (функции влияния);

(2.5)

X0, и0, M0, Q0 - соответственно перемещение, угол поворота, нагибающий момент и поперечная сила в начальном ( нулевом) сечении балки.

bi - расстояние от начала координат до точек приложения сосредоточенной силы Рi.

Дифференцируя уравнение (2.4), получим уравнение углов поворотов вертикальных сечений балки:

(2.6)

Дифференцируя уравнение (2.6) и умножаем на EI , получим уравнение изгибающего момента в произвольном сечении балки:

(2.7)

Дифференцируя уравнение (2.7), получим уравнение поперечной силы в произвольном сечении балки:

(2.8)

С помощью полученных уравнений (2.4), (2.6)-(2.8), зная начальные параметры X0, и0, M0, Q0, легко найти значения прогибов, углов поворота сечений, изгибающих моментов и поперечных сил в любом сечении балки на упругом основании, изменяя z от 0 до L.

Неизвестные начальные параметры (для данной задачи их всегда два) находятся ив условий на правом конце балки. Так, например, для балки со свободными концами имеем:

в начальном сечении M0 = 0 ,Q0 = 0;

в конечном сечении Q(L) = 0, M(L)= 0.

Составив теперь уравнения вида (2.7) и (2.8) с учетом указанных условий, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными X0 и и0, значения которых и находятся из решения этой системы.

Таким образом, представленная математическая модель является универсальной, так как позволяет производить расчеты балок на упругом основании при любых видах нагрузки и граничных условий.

Делись добром ;)