Вывод уравнения Лапласа. Плоские задачи теории фильтрации
1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде. Вывод уравнения Лапласа
При выводе дифференциального уравнения движения сжимаемой жидкости исходными уравнениями являются следующие:
закон фильтрации жидкости; в качестве закона фильтрации принимаем линейный закон фильтрации, выражающийся формулами (3.1)
, (3.1)
уравнение неразрывности (3.2)
, (3.2)
уравнение состояния. Для капельной сжимаемой жидкости уравнение состояния может быть представлено в виде (3.3)
, (3.3)
где - плотность жидкости при атмосферном давлении .
Подставляя в уравнение неразрывности (3.2) вместо проекций скорости фильтрации vx, vy и vz их значения из линейного закона, выражающегося формулой (3.1), получим:
, (3.4)
уравнения состояния (3.3) имеем:
, (3.5)
Откуда
,
,
. (3.6)
Подставляя эти значения частных производных , и в уравнение (3.4), получим:
Вводя оператор Лапласа
уравнение (3.7) более кратко можно написать в виде
, (3.8)
Учитывая, что
, (3.9)
уравнение (3.7) можно приближенно представить в виде:
,(3.10)
Уравнение (3.7) или приближенное заменяющее его уравнение (3.10) есть искомое дифференциальное уравнение неустановившегося движения сжимаемой жидкости в пористой среде. Упомянутые уравнения имеют вид «уравнения теплопроводности», интегрирование которого при различных начальных и граничных условиях рассматривается в каждом курсе математической физики.
Решение различных задач о неустановившемся движении однородной сжимаемой жидкости в пористой среде, основанное на интегрировании уравнения (3.7) при различных начальных и граничных условиях, дается в книгах В. Н. Щелкачева, И. А. Чарного и М.Маскета. При установившемся движении сжимаемой жидкости и вместо уравнения (3.7) имеем:
, (3.11)
Уравнение (3.11) называется уравнением Лапласа.
При установившейся и неустановившейся фильтрации несжимаемой жидкости плотность жидкости постоянна следовательно, величина, стоящая в правой части уравнения (3.4), равна нулю. Сокращая левую часть этого уравнения на постоянную и выполнив дифференцирование, получим:
, (3.12)
Таким образом, установившаяся и неустановившаяся фильтрация несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа (3.12).