Подземная гидромеханика

курсовая работа

1.4 Метод усреднения

Еще одним приближенным методом, применительно к задачам неустановившейся фильтрации газа, является метод усреднения временной производной по пространству.

В качестве примера рассматривается прямолинейно-параллельная фильтрация реального газа. Соответствующее этому случаю точное дифференциальное уравнение имеет вид

(38)

Допущением является то, что коэффициент сверхсжимаемости z(р) можно заменить на где pср - некоторое среднее давление в области фильтрации. Введем обозначение р1=р/z(р). Тогда уравнение примет вид

(39)

Пусть имеется первоначально невозмущенный газонасыщенный пласт шириной В, толщиной h, длиной L. С трех сторон пласт ограничен непроницаемыми поверхностями, а с четвертой стороны (х = 0) вскрыт галереей. В момент t = 0 через галерею начинает отбираться газ с постоянным массовым дебитом, который в соответствии с законом Дарси можно записать в виде:

Требуется определить давление в пласте в любой момент времени t> 0. Для этого нужно найти решение уравнения (39) в области изменения удовлетворяющее начальному и граничным условиям:

p1 = p10 при t = 0 (40)

при x=0, где (41)

при x = L (42)

Как и в методе последовательной смены стационарных состояний принимаем, что в каждый момент времени существует конечная возмущенная область l(t), на границе которой выполняются условия

p12=p102, при x = l(t) (43)

Центральным моментом в рассматриваемом методе усреднения является принятие условия

равносильного предположению, что во всей части пласта, охваченной возмущением, давление изменяется с одинаковой скоростью; тогда уравнение (39) принимает вид

(44)

Проинтегрировав это уравнение дважды по х получим:

(45)

Использовав граничные условия на галерее (41) и на границе возмущенной области (43), в результате получим

(46)

Для нахождения зависимости l(t) проделав ряд преобразований уравнения (39) получаем

Откуда (47)

Подставив выражение l(t) в формулу (46), получим зависимость давления, от координаты и времени.

В момент Т, когда возмущенная зона достигнет непроницаемой границы пласта (l=L) закончится первая фаза.

Для определения ее продолжительности :

(48)

Можно найти приближенное значение T из формулы (47) и убедиться, что погрешность не превышает 3-4%.

В течение второй фазы давление на границе x=L падает и выполняется условие (42). Соотношения для второй фазы истощения газового пласта строятся аналогичным образом. Проделав аналогичные выкладки, получим закон распределения давления по пласту:

(49)

и закон изменения давления на галерее:

(50)

Делись добром ;)