5.3. Расчет показателей разработки однородного пласта на основе модели непоршневого вытеснения нефти водой

Все известные методики расчета процесса разработки нефтяных месторождений с учетом непоршневого характера вытеснения нефти водой основаны на теории совместной фильтрации неоднородных жидкостей. Поясним ее вначале на примере вытеснения нефти водой из прямолинейного однородного пласта. Этот пример соответствует случаю вытеснения нефти водой из элемента однорядной схемы расположения скважин, происходящему в сечениях элемента, находящихся на значительном удалении от самих скважин, где характер движения вытесняемой и вытесняющей жидкостей близок к прямолинейному.

Рассматривая непоршневое вытеснение нефти водой в прямолинейном пласте, выделим элемент длиной , высотойи шириной b в направлении, перпендикулярном к плоскости (рис. 46).

Рис.46 Схема элемента пласта при непоршневом вытеснении нефти водой

В общем случае слева в элемент пласта поступают, а справа вытекают нефть и вода. При этом расход воды слева равен , а справа.

Количество накопленной воды в элементе пласта составляет

—скорость фильтрации воды; — водонасыщенность пласта; — время). Согласно закону сохранения массы вещества, разность между скоростями входящей в элемент пласта воды и выходящей из него равна скорости накопления объема воды в элементе пласта. Выражая сказанное в математической форме, получим

.

После сокращения соответствующих членов при устремлении имеем

. (5.43)

Поскольку в пористой среде содержатся только нефть и вода, то насыщенность пористой среды нефтью . Рассматривая аналогично предыдущему скорости проникновения нефти в элемент пласта и выхода из него, получим

. (5.44)

Складывая уравнения (5.43) и (5.44), имеем

; . (5.45)

Таким образом, суммарная скорость фильтрации нефти и воды не изменяется по координате , что и следовало ожидать, так как нефть и воду принимают за несжимаемые жидкости.

Следовательно, режим пласта жесткий водонапорный.

Скорости фильтрации воды и нефти подчиняются обобщенному закону Дарси, так что

; , (5.46)

где и,и— относительные проницаемости, зависящие от водонасыщенности и вязкости воды и нефти.

Рассмотрим функцию , называемую функцией Бакли- Леверетта. При этом

, (5.47)

или

. (5.48)

Из (6.48), дифференцируя по, получим

. (5.49)

После подстановки (5.49) в (5.43) получим одно дифференциальное уравнение первого порядка для определения , т. е.

. (5.50)

По мере вытеснения нефти водой из прямолинейного пласта фронт вытесняющей нефть воды продвигается к концу пласта и водонасыщенность в каждом сечении заводненной области непрерывно увеличивается. Процесс вытеснения нефти водой из прямолинейного пласта можно представить и иным образом, следя за изменением по пласту некоторой водонасыщенности. Если, например, в какой-то момент времени в некотором сечении пласта водонасыщенность составляла , то спустя определенное время эта водонасыщенность будет и в конце пласта, так как нефть постепенно извлекается из него и ее место занимает вода. Для указанногоможно принять

или

(5.51)

Сравним (5.50) и (5.51). Они будут идентичными, если положить

. (5.52)

Умножим и разделим (5.52) на и проинтегрируем, получим

; . (5.53)

Обозначим

, (5.54)

тогда

. (5.55)

Задавая в формуле (5.55), можно определить расстояние от входа в пласт для данного значения водонасыщенности. Однако в период безводной эксплуатации закачиваемая вода еще не достигает конца пласта. Чтобы установить положение фронта вытеснения нефти водой и водонасыщенность на фронте вытеснения, рассмотрим материальный баланс закачанной в пласт воды. Если к моменту временив пласт закачан объем воды, равный, длина фронта вытеснения составит, насыщенность пласта связанной водой, то

. (5.56)

Введем следующие обозначения:

; ;. (5.57)

Тогда, подставляя (5.57) в (5.56), получим

. (5.58)

Поскольку , то

.

Следовательно, из (5.58)

. (5.59)

В выражении (5.59) принято, что при и, т. е. на входе в пласт, мгновенно устанавливается водонасыщенность, при которой, а на фронте вытеснения значение ее в течение всего процесса составит.

Выполним интегрирование в левой части (6.59) по частям. Имеем

(5.60)

В соответствии со сказанным водонасыщенность устанавливается в сечении. Следовательно,, поэтому и второй член в формуле (5.60) равен нулю. Далее, поскольку, то, согласно формуле (5.47),. Таким образом, из (5.59) и (5.60) получим

,

откуда

. (5.61)

На рис. 47 приведен график, построенный с учетом кривых относительных проницаемостей, данных на рис. 40, при .

По кривой можно найти значение, графическим путем. В самом деле, согласно рис. 47

Проведя касательную к кривой из точки, по точке касания (см. рис. 47) определяеми.

Для того же, чтобы найти распределение водонасыщенности по длине пласта, необходимо построить кривую (рис. 48). Это можно сделать методом графического дифференцирования кривойили, представив кривые относительных проницаемостей аналитически, выполнить дифференцирование аналитическим путем, сделав соответствующее построение.

Определим теперь длительность безводного периода добычи нефти, т. е. момент времени , когда фронт вытеснения достигнет конца пласта и, следовательно,будет равен.

Будем считать, что к этому моменту времени в пласт закачано воды. Имеем из (5.57)

. (5.62)

Из (5.62) определим и, следовательно,. Величинаравна объемупор пласта. Так как режим жесткий водонапорный, объем закачанной в пласт воды к моменту времениравен объему добытой из пласта нефтик этому же моменту времени, т.е.. Безводная нефтеотдача, где- коэффициент вытеснения нефти водой, достигнутый в безводный период. Поэтому

. (5.63)

Заметим, что распределение водонасыщенности в пласте изменяется по мере продвижения в глубь пласта фронта вытеснения нефти водой таким образом, что значения на фронте вытесненияина входе в пласт остаются неизменными. Таким образом, кривая распределения водонасыщенности как бы «растягивается», оставаясь подобной себе. Такое распределение некоторого параметра, будь то водонасыщенность или какой-либо другой параметр, называетсяавтомодельным. Соответствующие решения задач также именуются автомодельными.

Полученные формулы позволяют рассчитать распределение водонасыщенности к моменту подхода воды к линии добывающих скважин, т. е. в безводный период разработки пласта.

Однако добыча нефти из пласта продолжается и после прорыва фронта вытеснения к концу пласта при .

Рис.49. Схема вытеснения нефти водой из прямолинейного пласта в водный период разработки.

Распределение водонасыщенности: 1-истинное; 2-фиктивное

Для определения текущей нефтеотдачи и обводненности продукции при , т.е. в водный период разработки пласта поступим следующим образом. Будем считать, что продвижение фронта вытеснения происходит и в водный период разработки пласта, но этот фронт распространяется вправо за пределы пласта (рис. 49). Водонасыщенность на таком фиктивном фронте вытеснения и в этом случае остается постоянной, равной, а водонасыщенность приуже составит. Пусть в некоторый момент временификтивный фронт находится на расстоянииот входа в пласт (см. рис. 49). В соответствии с формулами (5.54) и (5.55) приможно написать

. (5.64)

Из (5.62) и (5.64) получим

. (5.65)

По формуле (5.65) находим для различных значений времени. Так, зная,и, определим вначале, а затем по графику функции- значение.

Дебиты нефти и воды в водный период разработки пласта составят

;. (5.66)

Отсюда для определения текущей обводненности продукции получим формулу

. (5.67)

Текущую нефтеотдачу в водный период разработки пласта можно определить в принципе следующим образом:

1. установлением объема накопленной добычи нефти по формуле

;

2) отнесением этого объема накопленной добычи нефти к первоначальному объему нефти в пласте, равному .

Однако во втором случае можно определять объем добытой из пласта нефти по изменению в нем водонасыщенности, учитывая опять-таки то, что режим разработки пласта жесткий водонапорный. Так, на основе равенства объема вошедшей в пласт воды объему вытесненной из него нефти имеем

(5.68)

Формула (5.68) должна быть справедлива для всех моментов времени, когда . При, вообще говоря, водонасыщенность должна стать равнойво всем пласте. Однако при любом другом значении времени водонасыщенностьтолько на входе в пласт, т. е. при. Тогда, как следует из формулы (13),. Следовательно, из (5.68) получим

. (5.69)

~

Из (5.69) вытекает, что текущая нефтеотдача пласта в период водной его эксплуатации

. (5.70)

Таким образом, мы определили основные технологические указатели разработки элемента пласта — текущую нефтеотдачу и обводненность добываемой продукции.

Рассмотрим непоршневое вытеснение нефти водой в радиальном направлении, например, при разработке элемента семиточечной системы с использованием заводнения. Схема элементарного объема пласта для такого случая показана на рис. 50. Уравнение неразрывности фильтрующейся воды в таком объеме получим с учетом баланса втекающей и вытекающей воды за время в виде

Рис.50. Схема элементарного объема радиального пласта

. (5.71)

Раскрывая скобки в выражении (5.71), сокращая в нем соответствующие члены и заменяя обозначения обыкновенных производных на частные, имеем

или

. (5.72)

Вполне аналогичным образом, но с учетом того, что насыщен- ность пористой среды нефтью , установим соответствующее уравнение неразрывности для фильтрующейся в пласте нефти в следующем виде:

. (5.73)

Складывая уравнения (5.72) и (5.73), получим

. (5.74)

Вводя, как и в случае прямолинейного вытеснения нефти водой, функцию , определяемую формулой (5.47) (Бакли-Леверетта), и подставляя ее в (5.72) с учетом (5.74), будем иметь одно дифференциальное уравнение для определения водонасыщенности s в виде

. (5.75)

Так же, как и в прямолинейном случае, рассматриваем перемещение со временем в пласте линий . В этом случае

(5.76)

Из (5.75) и (5.76)

.

Отсюда

(5.77)

.

Рассмотрим баланс закачанной в пласт и извлеченной из него воды. Устремляя для простоты радиус скважины к нулю (), имеем

. (5.78)

Учитывая, что

; ,

и подставляя эти выражения в (5.78), приходим к интегральному соотношению

,

в точности совпадающему с соответствующим соотношением (5.59) для случая вытеснения нефти водой из прямолинейного пласта. Можно поэтому утверждать, что и при вытеснении нефти водой из радиального пласта справедливы соотношение (5.60) и все последующие рассуждения, включая формулу (5.61), пригодную для нахождения водонасыщенности на фронте вытеснения нефти водой, а также описанный графический метод определения .

Время безводной разработки пласта радиусомопределим из (5.77). Если полагать, что, имеем

. (5.79)

Аналогично по формулам (5.66) и (5.67) находим текущую обводненность продукции, добываемой из пласта при. Соответственно текущую нефтеотдачувычислим по формуле (5.70). Таким образом, определяем все важнейшие технологические показатели процесса вытеснения нефти водой.