3.2. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

При вычислительной обработке выполненных на местности измерений, а также при проектировании инженерных сооружений и расчетах для перенесения проектов в натуру возникает необходимость решения прямой и обратной геодезических задач.

Прямая геодезическая задача. По известным координатам х₁ и у₁ точки 1, дирекционному углу _1-2 и расстоянию d_1-2 до точки 2 требуется вычислить ее координаты х₂, у₂.

Координаты точки 2 вычисляют по формулам (рис. 3.5):

(3.4)

где х, у  приращения координат, равные

(3.5)

Обратная геодезическая задача. По известным координатам х₁, у₁ точки 1 и х₂, у₂ точки 2 требуется вычислить расстояние между ними d_1-2 и дирекционный угол _1-2.

Из формул (3.5) и рис. 3.5 видно, что

. (3.6)

Для определения дирекционного угла _1-2 воспользуемся функцией арктангенса. При этом учтем, что компьютерные программы и микрокалькуляторы выдают главное значение арктангенса

 =,

лежащее в диапазоне 90+90, тогда как искомый дирекционный угол  может иметь любое значение в диапазоне 0   360.

Формула перехода от  к  зависит от координатной четверти, в которой расположено заданное направление или, другими словами, от знаков разностей y = y₂  y₁ и x = х₂  х₁ (см. таблицу 3.1 и рис. 3.6).

Таблица 3.1

Рис. 3.6. Дирекционные углы и главные значения арктангенса в I,II,IIIиIVчетвертях

Расстояние между точками вычисляют по формуле

(3.6)

или другим путем – по формулам

(3.7)

Программами решения прямых и обратных геодезических задач снабжены, в частности, электронные тахеометры, что дает возможность непосредственно в ходе полевых измерений определять координаты наблюдаемых точек, вычислять углы и расстояния для разбивочных работ.