5.4 Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …

u = f (x,y,z…). (5.5)

Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями u, x, y, z, ….

Получили выражение случайной погрешности u в зависимости от случайной комбинации погрешностей x, y, z, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:

(i = 1, 2, …, n)

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

,

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n  ) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: ,,,,. И окончательно

(5.6)

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x , y, z:

u = x + y + z.

В этом случае =1,=1,=1. Следовательно

=++.

2. Функция u является разностью переменных x и y:

u = x  y.

В этом случае =1,=1. Следовательно

=+.

3. Функция u имеет вид:

u = k x,

где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому =k²и

m_u = k m_x.

4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:

u = k₁ x + k₂ y + k₃ z …,

где k_i ­постоянные множители. Теперь частные производные равны =k₁, = k₂, = k₃. Поэтому

.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d=124,16 м и углу наклона =2°16´, если m_d = 0,06 м, а m_ = 1´.

Превышение вычисляют по формуле

h = d tgν.

Продифференцируем формулу по переменным d и :

, .

Используя формулу общего вида (5.6) получим

Подставляя исходные данные, найдем

где 3438 ­ число минут в радиане. И окончательно m_h=0,036 .м.

Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам

h = a  b.

Отчеты берут с точностью m_a = m_b = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения

= 2,8 мм

Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле

_{f = 1 + 2 + + n  180(n  2),}

где _i – измеренные углы (i = 1, 2, , n) и n – их число.

Невязка  результат погрешностей в углах _i. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна

m_f = =,

где m₁ = m₂ =  = m_n = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5.

Допуском угловой невязки (f_)_доп служит предельная погрешность (f_)_пред=2m_f. Получаем формулу

(f_)_доп = 1.