1. Оценка точности функции измеренных величин, обобщенная теорема оценки точности.

(Замечательные теоремы)

Теорема 1

Математическое ожидание линейной функции y=Аx+b равно:

Мy=АМx+ b

Доказательство: Мy=МΣaij . xj+ b=Σ aij . Мxj+ b= A . Мx+b, что и требовалось доказать.

Заметим, что данная теорема необходима для дальнейшего изложения и доказательств.

Теорема 2 (Теорема обобщенной оценки точности функции)

Корреляционная матрица вектор-функции равна произведению матрицы линейного преобразования случайного вектора, корреляционной матрицы случайного вектора и транспонированной матрицы линейного преобразования.

В аналитической форме выглядит так: Кy=АКx . АΤ А-матрица линейного преобразования, Кx- корелляционная матрица аргументов функции (случайного вектора).

Доказательство:

Кy= М[(y- Мy)( y- Мy)^Τ] (3.7.2)

Вектор-фукция представляется так:

Y=Ax+b (3.7.3)

Математическое ожидание согласно предыдущей теореме:

Мy=AMx+b (3.7.4)

Подставим выражение (3.7.3) и (3.7.4) в выражение (3.7.2)

Ky= M [(Ax+b-AMx-b)(Ax+b-AMx-b) ]=M[(Ax-AMx)(Ax-AMx)^т]=

M[A(X-Mx)(X-Mx) ^т]A ^т=AM[(X-Mx)( X-Mx) ^т]A ^т=AKxA ^т

что и требовалось доказать

Теорема 3

Если векторы случайных величин x и y не коррелированны, то корреляционная матрица функции Z=x+y, равна:

К=Ky+Kx

Доказательство:

Представим исходную функцию в матричном виде:

x

Z=(εε)

y

В данном случае матрица линейного преобразования является единичной:

(εε) =A

Далее, выполняя преобразования согласно теореме обобщенной оценки точности функции, получаем:

Kx 0 Kx 0 Kx 0

Кz= A A^T= (εε) (εε)= (εε)=Kx+Ky, что и т.д.

0 Ky 0 Ky 0 Ky