5.5 Математическая обработка результатов прямых равноточных измерений

Арифметическая средина результатов равноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных равноточных измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n. Рассмотрим их среднее арифметическое

. (5.7)

Из (5.1) следует l_i= Х + Δ_i (i = 1, 2, … n). Поэтому напишем

= X  .

Согласно (5.2) с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей, деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х. Поэтому значение определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины. Пусть точность результатов измерений l₁, l₂, …, l_n характеризуется средними квадратическими погрешностями

m₁ = m₂ =  = m_n = m

и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M арифметической средины.

Представим формулу (5.7) в следующем виде:

L = .

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины найдем как погрешность функции измеренных величин по формуле (5.6)

или

(5.8)

Формула (5.8) показывает, что погрешность арифметической средины с ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в 2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.