6.2. Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости

Движение аномальных нефтей в пластах по закону (6.5) приводит к существенным особенностям разработки этих пластов, не встречающимся в случае фильтрации по закону Дарси.

Установившееся течение вязкопластичной жидкости. Рассмотрим плоскорадиальный приток к скважине при условии выполнения соотношения (6.4):

(u>0); (6.8)

, (u=0).

Решая (6.9) относительно скорости и переходя к дебиту, получим формулу притока, обобщающую формулу Дюпюи.

, если . (6.9)

u=0, если dp/dr.

Считая давления на забое скважины и на границе пласта постоянными (р(r_c)=р_c; р(r_к)=р_к ), после интегрирования (6.10) находим:

, (6.10)

(6.12)

Формулы (6.11), (6.12) представляют, соответственно, распределение давления в пласте и дебит скважины. Из формулы (6.11) видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым коэффициентом  теряется на преодоление предельного градиента сдвига. При Q0, как следует из (6.11), давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону Дарси), а изменяется по линейному закону. При тех же условиях наличие предельного градиента давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи), а индикаторная линия скважины Q(р_с) – прямолинейная, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный R_к (рис. 6.3а).

В случае слоистого пласта с гидродинамически изолированными пропластками, т. е. при отсутствии перетоков между слоями с разными проницаемостями, для дебита в каждом пропластке справедлива формула (6.12), но своими значениями толщин, проницаемости и начального градиента. Индикаторная линия в этом случае представляется ломаной (рис. 6.3b).

Рис. 6.3. Индикаторные линии при плоскорадиальном течении вязкоплоастичной жидкости:

а – однослойный пласт; b – трёхслойный пласт

Неустановившаяся фильтрация вязкопластичной жидкости. Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме работы пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (6.5) уравнениями неразрывности и состояния флюида. Описанным в разделе 5 подходе получим следующее уравнение пьезопроводности:

, (6.13)

где æ – коэффициент пьезопроводности.

Уравнение (6.13) служит основой для построения нелинейной теории упругого режима вязкопластичной жидкости. Вместе с тем следует иметь в виду, что при решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту , а давление – начальному пластовому.

Если рассмотреть задачу о пуске скважины с постоянным дебитом при фильтрации вязкопластичной жидкости с предельным градиентом, то получим из решения уравнения (6.13) следующую зависимость забойного давления от времени:

. (6.14)

В данной формуле логарифмический член играет основную роль при малом времени, когда преобладают упругие силы. При больших значениях времени закон движения границы возмущенной области подчиняется степенному закону. Таким образом, при некоторых значениях параметров оказывается, что основное значение имеет степенной член, так что закон падения давления на забое скважины изменяется с логарифмического на степенной. Следовательно, при больших временах вид кривых изменения забойного давления р_с(t) при фильтрации с предельным градиентом существенно изменяется по сравнению с фильтрацией упругой жидкости, что позволяет обнаружить в пластовых условиях проявление предельного градиента давления.