1.1.1 Геометрична сутність картографічного зображення поверхні Землі на картах і планах

Одним з найголовніших питань, яке турбувало вчених стародавніх часів: якої форми наша планета. Тривалий час люди були впевнені, що Земля плоска. Про силу земного тяжіння у давні часи було не відомо, тому гадали, що коли б наша планета була круглою, то мешканці іншого її боку попадали з неї. Проте у різних народів уявлення про форму Землі були не однакові.

Народи Давнього Сходу залишили по собі письмові джерела, у яких погляди на Землю ґрунтувалися на міфах та легендах. Наприклад, у Давньому Єгипті ще за довго до початку нашої ери Землю вважали богинею. Над нею живе богиня неба, яка тримає на собі небозвід, по якому плаває корабель бога Сонця, який вказує шлях небесному світилу зі сходу на захід.

Жителі Давнього Вавилону уявляли Землю у формі гори, на західному схилі якої вони живуть. Гора оточена морем, на яке, як перевернута чаша, спирається тверде небо, де, як і на Землі, є суша, вода і повітря. По небу рухаються Сонце, Місяць і п’ять планет. Під Землею знаходиться безодня, у яку вночі опускається Сонце, проходить через неї, щоб вранці на сході знову почати свій шлях по небу.

В давньоєврейській державі, яка знаходилася на рівнинах Палестини, вважали Землю плоскою. Над нею живуть вітри, які відділяють планету від небесних вод: дощу, снігу та граду. Під землею знаходяться води, які живлять моря та річки.

У Давній Індії на початку нашої ери уявляли Землю у вигляді випуклого диску, який лежить на спинах чотирьох слонів, які стоять на спині величезної черепахи, а та, в свою чергу, на змії, яка згорнувшись кільцем, замикає навколоземний простір. Дещо подібні погляди мали індіанці Америки. Лише замість слонів, вони уявляли плоску Землю на спині у китів, які плавають у безмежному океані.

Найвищих наукових досягнень Стародавнього світу досягли у Древній Греції. Але й там не зразу прийшли до правильних висновків на форму нашої планети. Наприклад, давньогрецький поет Гомер (VІІІ ст. до н.е.) у своїх творах говорить про Землю як про диск, що нагадує щит воїна. Сушу з усіх сторін омиває річка Океан. Над Землею розкинувся мідний небозвід. А, на думку філософа Анаксимандра (VІІ – VІ ст. до н.е.), Земля являє собою циліндр, який вільно висить у повітрі. Середину Землі займає суша у вигляді великого круглого острова, оточеного океаном. Всередині суші знаходиться морський басейн, який ділить її на дві приблизно рівні частини: Європу та Азію.

Перші припущення про кулястість Землі зробив давньогрецький вчений Піфагор у VІ ст. до н.е. Свої погляди від обґрунтував доказами. Досвідчені мореплавці звернули увагу на те, що при наближенні корабля до спостерігача спочатку видні вітрила й тільки потім весь корабель, що свідчило про випуклість планети. Крім того, звернули увагу на розширення горизонту при підйомі вгору. Пізніше, у ІV ст. до н.е. давньогрецький вчений Аристотель помітив, що тінь від Землі, яка падає на повний Місяць під час місячних затемнень, завжди кругла. Така тінь може бути лише від кулі. З І ст. ідеї про кулясту форму Землі вже назавжди затверджуються в науці. Інші планети теж почали вважали кулястими.

На зламі XVII-XІІІ ст. І.Ньютон довів, що Земля не куля, а сфероїд обертання (двовісний еліпсоїд).

Форма і розміри Землі. Коли говорять про форму (фігуру) Землі, то мають на увазі не фізичну її поверхню з усіма нерівностями (горами, низинами і т.ін.), а певну поверхню океанів і відкритих морів, яка нашою уявою продовжена під всіма материками. За таку поверхню беруть геоїд. Поверхня геоїда (рис.1.1) – рівнева поверхня реального потенціалу сили ваги, що збігається в океані з його незбуреним середнім рівнем, уявно продовжена під материками так, щоб напрями прямовисних ліній перетинали її завжди під прямим кутом.

Рисунок 1.1 –Поверхня геоїда

Проте через різницю температури і солоності води в різних частинах Світового океану та інші причини поверхня геоїда не збігається із зазначеним рівнем. За деякими оцінками, відхилення середнього рівня моря від геоїда у відкритих частинах Світового океану може досягати 1 м. Тому розрізняють поверхню геоїда і так звану топографічну поверхню морів і океанів. Оскільки фігура геоїда залежить від невідомого розподілу мас всередині Землі, то вона за наземними вимірами не визначається.

За своєю формою геоїд хоча і є неправильною геометричною фігурою, однак зовсім мало відрізняється від еліпсоїда обертання, тобто правильного геометричного тіла, що утворюється обертанням еліпса навколо своєї малої осі (рис.1.2).

Відхилення за висотою точок поверхні геоїда від поверхні найбільш близького до нього за своїми розмірами еліпсоїда характеризуються у середньому величиною порядку 50 м і не перевищують 150 м. Такі розходження настільки незначні у порівнянні з розмірами Землі, що на практиці її форму беруть за еліпсоїд, який називають земним еліпсоїдом, або сфероїдом.

Рисунок 1.2 – Еліпс і його елементи

Встановлення розмірів земного еліпсоїда, найбільш близьких за своєю формою та фігурою до фактичної фігури Землі, має досить важливе не тільки науково-теоретичне, але і практичне значення. Особливо це важливо для створення точних топографічних карт. Розміри земного еліпсоїда у різні часи визначалися багатьма вченими за матеріалами градусних вимірів. Деякі з них наведені у табл.1.1.

Розміри земного еліпсоїда характеризуються такими даними: велика піввісь – 6 378 245 м, мала піввісь – 6 356 863 м. З цих даних видно, що вісь обертання Землі коротше земного екватора приблизно на 43 км. Тому для ряду практичних завдань, які не вимагають особливої точності, фігуру Землі беруть за шар, радіус якого дорівнює приблизно 6 371 км, а вся поверхня – приблизно 510 млн кв. км (табл.1).

Таблиця 1.1 – Результати вимірів розмірів земного еліпсоїда

На земному шарі (еліпсоїді) відрізняють такі основні точки та лінії (рис.1.3). Кінці земної осі, навкруги якої відбувається добове обертання Землі, називаються географічними полюсами – північним (Пн) і південним (Пд).

Площина, яка перпендикулярна до осі обертання Землі і проходить через її центр, називається площиною земного екватора. Ця площина пересікає земну поверхню по колу, що називається екватором. Площина екватора розділяє Землю на дві півкулі – північну і південну. Лінії пересічення земної поверхні площинами, які паралельні площині екватора, називаються паралелями, а лінії, що проходять через земну вісь, – географічними, або істинними меридіанами.

Сітка, яка утворена пересіченням меридіанів і паралелями, називається географічною сіткою.

Рисунок 1.3 – Основні точки і лінії на земній кулі

Горизонтальна проекція. Щоб відобразити фізичну поверхню Землі на карті, тобто на площині, її, по-перше, проектують (переносять) прямовисними лініями на рівневі поверхні (рис.1.4), тобто на поверхню земного еліпсоїда (уявимо собі його у вигляді глобуса), а потім вже за визначеними правилами це зображення розгортають (тобто переносять з глобуса) на площину.

Під час зображення невеликої ділянки рівневу поверхню можна взяти за горизонтальну площину і, спроектувавши на неї цю ділянку, отримаємо план. Щоб уявити геометричну сутність такого планового зображення, візьмемо у просторі будь-яку випадково розміщену пряму; із кожної її точки опустимо перпендикуляри на горизонтальну площину Р – площину проекцій( рис.1.5).

Точки перетину перпендикулярів з площиною Р складатимуть пряму ав, яка і буде плановим зображенням прямої АВ. Зображення у плані точок і ліній земної поверхні називається їх горизонтальною проекцією. Подібним чином можуть бути отримані горизонтальні проекції будь-яких фігур.

Рисунок 1.4 – Проектування фізичної поверхні Землі на рівневу поверхню

Якщо лінія, що проектується, горизонтальна, то її зображення у плані дорівнює самій лінії; якщо вона нахилена, то її горизонтальна проекція завжди коротше її довжини і зменшується зі збільшенням кута нахилу. Горизонтальна проекція вертикальної лінії – точка.

Під час знімання місцевості на карту наносять у заданому масштабі, тобто з відомим зменшенням, горизонтальну проекцію всіх її ліній і контурів (зображення площин), проектуючи їх на рівневу поверхню Землі, яку, у межах аркушу карти, беруть за горизонтальну площину.

Рисунок 1.5 – Горизонтальні проекції (зображення у плані) точки, прямої, ламаної та кривої ліній

Сутність картографічних проекцій. Розгорнути сферичну поверхню на площині без розривів та складок неможливо. Це означає, що таку поверхню неможливо уявити у вигляді планового зображення на площині без перетворень, тобто з повним дотриманням геометричної подібності всіх її контурів. Дійсно, що спроектовані на рівневу поверхню контури материків, островів і інших частин Землі можуть бути зображені з повним дотриманням подібності лише на глобусі.

На глобусі географічна сітка, а внаслідок і всі зображення поверхні Землі мають такі основні геометричні властивості:

а) будь-який відрізок лінії на поверхні земної кулі зображується на глобусі з однаковим зменшенням, тобто масштаб зображення залишається на глобусі всюди однаковим. Всі меридіани на глобусі однакові за довжиною між собою. Ця властивість називається рівномасштабністю зображення;

б) будь-який горизонтальний кут на земній кулі дорівнює відповідному куту на глобусі, тобто зображення будь-якої фігури на глобусі подібно її дійсному вигляду у натурі. Всі меридіани перетинають паралелі під прямим кутом. Ця властивість називається властивістю рівнокутності;

в) розміри всіх площин, що зображені на глобусі, пропорційні їх дійсним розмірам на земній кулі, тобто відношення площин на глобусі до відповідних площин на земній кулі постійне. Ця властивість називається властивістю рівновеликості зображення.

Усі ці властивості одночасно і повністю зберегти на карті неможливо. Побудована на площині, тобто на карті, географічна сітка, яка відображає меридіани і паралелі (картографічна сітка), буде деякою мірою викривлена. Відповідно буде викривлена кожна клітка географічної сітки, а внаслідок і зображення всіх подробиць земної поверхні, оскільки необхідні вимірювальні дані про них, отримані за матеріалами топографічного знімання або за аерофотознімками, наносять на карту під час її складання за клітинами картографічної сітки.

У той же час розрізняють викривлення довжин, площин і кутів. Характер і розміри викривлень залежать від способу побудови, тобто від типу картографічної сітки, на основі якої складається карта.

Спосіб побудови на площині сітки паралелей і меридіанів земного еліпсоїда (тобто картографічної сітки) і зображення на її основі земної поверхні називається картографічною проекцією.

Різних картографічних проекцій існує багато. Кожній з них відповідає досить визначений вид картографічної сітки і відповідні їй викривлення. В одній проекції викривляються розміри площин, в іншій – кути, в третій – і те і інше і у всіх без винятку – довжина ліній.

На рис.1.6 показана карта світу (у зменшеному вигляді), на якій картографічна сітка зберігає властивість рівнокутності, тобто дана карта складена в одній з рівнокутних проекцій. На цій карті викривлені розміри площин, у чому неважко переконатися, якщо порівняти, наприклад, розміри Гренландії і Африки; на карті вони майже рівні між собою, а в дійсності площа Гренландії менша площі Африки приблизно у 35 разів.

Рисунок 1.6 – Карта світу у рівнокутній проекції

На рис.1.7 карта світу складена у рівновеликій проекції, тобто карта зберігає властивість рівновеликості. На такій карті збережена пропорційність всіх площин, але порушено подібність фігур, тобто властивість рівновеликості. На глобусі всі меридіани пересікають паралелі під прямим кутом. На цій карті взаємна перпендикулярність меридіанів і паралелей зберігається лише за середнім меридіаном.

Рисунок 1.7 – Карта світу у рівновеликій проекції

Таким чином, неможливо побудувати картографічну сітку і внаслідок чого і карту, на якій би повністю зберігалася властивість рівномасштабності зображення, оскільки б це означало одночасне збереження рівновеликості і рівнокутності, які можна досягти лише на глобусі або під час зображення невеликих ділянок земної поверхні – на плані. Викривлення на картах тим значніші, чим більше площина, що відображується. Тому ці викривлення найбільш помітні на географічних дрібномасштабних картах, що охоплюють значні території.

Поняття про проекції топографічних карт.

Всі колишні і теперішні топографічні карти масштабів 1 : 25 000, 1 : 50 000, 1 : 100 000, 1 : 200 000 і 1 : 500 000 створюються у єдиній рівнокутній проекції Гауса (1777 – 1855). Ця ж проекція взята і для обробки результатів польових геодезичних вимірювань під час визначення координат геодезичних пунктів.

Геометрична сутність проекції, в якій виготовляються топографічні карти в Україні, полягає у такому.

Вся поверхня земного еліпсоїда розбивається за меридіанами на 60 зон, по 6^° кожна (рис1.8). Середній меридіан у кожній зоні називається осьовим меридіаном, він розділяє зону на рівні частини – західну і східну.

Рисунок 1.8 – Розподіл поверхні земного еліпсоїда на шестиградусні зони

Облік зон ведеться із заходу на схід від початкового меридіана, за який у більшості країн, у тому числі і в Україні, взято меридіан Грінвіча, який проходить через обсерваторію Грінвіча (на околицях Лондону).

Щоб уявити собі, як створюється на площині зображення цих зон, уявимо циліндр, який осьовим меридіаном однієї із зон торкається глобуса, який являє собою у даному випадку земну кулю (рис.1.9). Зону спроектуємо за законами математики на бокову поверхню циліндра так, щоб при цьому зберігалася властивість рівнокутності зображення, тобто рівність усіх кутів їх дійсній величині на глобусі. Таким самим способом послідовно спроектуємо на бокову поверхню циліндра всю решту зон, одну поряд з іншою. Розрізавши тепер циліндр по утвірній полюсів і розгорнувши його бокову поверхню у площину, отримаємо зображення земної поверхні на площині у вигляді окремих зон, які торкаються одна до одної лише у точках торкання по екватору, як показано на рис.1.8.

Зображення кожної зони, отримане таким чином у потрібному масштабі, поділяється сіткою меридіанів і паралелей на окремі аркуші карти встановленого розміру.

Розглянемо основні геометричні властивості отриманого зображення зони. Як бачимо з рис.8, осьові меридіани в кожній зоні відображаються прямими лініями за умови, що осьові меридіани перпендикулярні до екватора. Оскільки при проектуванні циліндр торкався до кожної зони осьовим меридіаном, то всі ці меридіани відображаються у даній проекції без викривлення довжини і зберігають масштаб на всій своїй довжині.

Рисунок 1.9 – Проекція зони на циліндр, який торкається до земного еліпсоїда осьовим меридіаном

Якщо під час проектування циліндр торкався до кожної зони осьовим меридіаном, то всі ці меридіани відображаються у даній проекції без викривлення довжини і зберігають масштаб на всій своїй довжині. Решта меридіанів у кожній зоні відображається у проекції кривими лініями, тому вони всі мають більш довші осі меридіана, тобто викривлені. Всі паралелі також відображаються кривими з деяким викривленням. Ці викривлення довжини всіх ліній збільшуються під час віддалення від осі меридіана на схід або захід. Найбільші викривлення отримаємо на краях зони, де вони можуть досягати величини порядку 1/1000 довжини лінії, яка вимірюється по карті. Це означає, що, наприклад, вздовж осі меридіана, де немає викривлення довжини, масштаб карти дорівнює 500 м в 1 см, то на краю зони він буде дорівнювати 499,5 м в 1 см.

Таким чином, теоретично нашим топографічним картам також притаманні викривлення і змінний масштаб. Однак ці викривлення під час вимірів по карті практично не відчуваються, і тому масштаб будь-якої топографічної карти можна вважати постійним.

Так, основні переваги проекції для наших топографічних карт полягають у такому:

• за точністю внаслідок незначних викривлень ця проекція відповідає всім вимогам, що висуваються до топографічних карт масштабу 1:25 000 і дрібніше. Максимальні лінійні викривлення, які отримують на краях зони, не перевищують 0,1% довжини ліній, які вимірюють, що навіть для карт масштабу 1: 25 000 не виходить за межі графічної точності;

• дана проекція відрізняється універсальністю: вона застосовується для топографічних карт різних масштабів, починаючи з 1 : 500 000 і більше, і для будь-якої частини земної кулі;

• завдяки єдиній проекції всі наші топографічні карти пов’язані з системою плоских прямокутних координат, за якою в Україні визначають положення геодезичних пунктів. Це також є значною перевагою наших карт і системи плоских прямокутних координат, оскільки дозволяє отримати в одній і тій самій системі координати точок як по карті, так і за вимірюваннями безпосередньо на місцевості.

План і карта.Картографічне зображення земної поверхні залежно від способів їх складання і розмірів зображеної на них території прийнято розділяти на плани і карти. Під час знімання невеликих ділянок місцевості рівневу поверхню, як зазначалося раніше, можна брати за площину і без суттєвих на кресленні викривлень отримати їх картографічне зображення зі збереженням повної подібності всіх елементів місцевості.Таке зменшене, точне і детальне зображення на площині невеликої ділянки місцевості, яка береться за площину, називаєтьсятопографічним планом,або простопланом.

Під час зображення на площині великих земних просторів доводиться враховувати кривизну рівневої поверхні, застосовуючи для цього ту чи іншу картографічну проекцію. Таке зображення всієї земної поверхні або значної її частини, що виконано на площині у будь-якій проекції, тобто створене з використанням попередньо накресленої картографічної сітки, називається картою.