Арифметическое среднее

Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодезических измерениях одинаковой точности, за окончательный результат принимают среднее арифметическое из ряда измерений.

Если измерена одна и та же величина n раз и получены результаты: l₁, l₂, l₃, …, l_n, то

= [1]

Величина называется арифметической срединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Сумма в числителе обозначена квадратными скобками, как это принято в теории погрешностей по Гауссу.

Поскольку Х есть истинное значение измеряемой величины, можно вычислить ряд соответствующих абсолютных погрешностей измерений:

∆₁= Х – l₁; ∆₂= Х – l₂; …;∆_n= Х – l_n.

Сложив правые и левые части уравнений, получим

[∆] = n Х - [l], откуда

Х=

Как следует из формулы, с увеличением числа измерений будет стремится к нулю и, следовательно, при бесконечно большом числе измерений средняя арифметическая величина будет равна истинному значению Х.

Поскольку на практике число измерений все же ограничено, то среднее арифметическое

Будет несколько отличаться от истинного значения измеряемой величины Х, однако при всяком n арифметическое среднее считают более надежным значением измеряемой величины.