5.4.5. Определение оптимального числа резервных элементов ксно

Как указывалось выше, одним из эффективных методов повышения надежности КСНО является резервирование его элементов. В свою очередь, увеличение количества элементов приводит к увеличению весовых характеристик и габаритных размеров, а также стоимости всего КСНО.

Если надежность всего КСНО задана, то при наличии резервирования вероятность безотказной работы будет

, (5.100)

где — количество i-x элементов повышающих надежность за счет резервирования; — вероятность отказа i-го элемента; - общее количество разнотипных элементов (дублирующие элементы не входят).

Определение оптимального числа резервных элементов заключается в выборе такого вектора (с компонентами ), который минимизирует суммарную стоимость КСНО.

Суммарная стоимость КСНО может быть представлена следующей зависимостью:

, (5.101)

где — постоянная составляющая затрат, не зависящая от резервирования; , а — статистические коэффициенты; , — коэффициенты, учитывающие увеличение массы и размеров за счет введения дополнительных элементов; — коэффициент, учитывающий увеличение объема за счет размеров .

При определении оптимального количества резервных элементов следует учитывать возможность существования ограничений по массе и габаритам, которые для данного случая могут быть представлены в следующем виде:

;

; (5.102)

где ; .

Поставленная задача формулируется так: необходимо выбрать вектор с компонентами таким образом, чтобы при соблюдении условия (5.100) и ограничений (5.102) минимизировать , определяемую по формуле (5.101).

В общем случае эта задача нелинейного целочисленного программирования, которая при больших значениях может быть решена либо методом полного перебора, либо наискорейшего спуска, либо другими численными методами с применением ЭВМ.

В простейшем случае, когда малы и отсутствуют ограничения по массе и габаритам, поставленная задача может быть решена аналитически.

Для этого случая можно записать приближенное уравнение, получаемое из (5.100):

. (5.103)

Уравнение (5.101) перепишем в виде

, (5.104)

где .

Оптимизацию будем проводить методом неопределенных множителей Лагранжа, для чего составим функцию

(5.105)

и, приравняв производные по и к нулю, получим

(5.106)

Решение этой системы уравнений позволяет найти оптимальное значение

, (5.107)

где .

Вместо натуральных логарифмов в приближенных расчетах можно пользоваться десятичными.