Силы, действующие в водных объектах

Строгая математическая интерпретация законов движения воды с учетом всех действующих физических сил возможна лишь на основе трехмерного гидродинамического анализа. Для понимания наиболее общих закономерностей движения природных вод дос­таточно рассмотреть более упрощенную задачу. Для этого выделим в водном объекте некоторый объем воды в виде параллелепипеда со сторонами Ах (длина), В (ширина), h (высота) (рис. 2.3, а, б). При этом ось х направим через центр тяжести выделенного объема параллельно водной поверхности. Нижняя грань объема S_m0 сопри­касается с дном, верхняя S_n0B — с воздухом; поэтому высота парал­лелепипеда является одновременно и глубиной потока. Задняя передняя S₂ и боковые — левая 5₃ и правая S₄ грани отделяют выделенный объем от остальной части потока.

П

Рис. 2.3. Схема действующих в водном потоке физических сил: а — выделенный объем воды, б — он же, в разрезе, в — он же, в плане

«)

ности со средней скоростью v. В этом случае на объем воды будут действовать следующие объемные (массовые) и поверхностные силы.

К объемным (или массовым) силам, действующим на весь объем воды и приложенным к его геометрическому центру, относятся сила тяжести F_g и ее продольная составляющая F', центробежная сила F_u и отклоняющая сила вращения Земли (сила Кориолиса) F_K.

Поверхностные силы, действующие на вертикальных гранях вы­деленного объема, подразделяются, в свою очередь, на нормаль­ные, направленные перпендикулярно граням (это силы давления Р), и касательные, действующие вдоль граней (это силы трения Т). Различают силу трения у дна Т_шо и силу трения, обусловленную действием ветра на водную поверхность Г_ветр (считается, что непод­вижный воздух тормозящего действия на движущуюся воду прак­тически не оказывает).

Для математического представления объемных (массовых), нор­мальных и касательных поверхностных сил используют соответ­ственно следующие выражения: F- та, F- Sp и F= Sx, где т — масса; а — ускорение; S — площадь боковой грани; /? —давление на единицу площади; х —удельное трение (касательное напряжение). Размерность р их — Н/м². Как следует из рис. 2.3, все перечислен­ные силы, действующие на рассматриваемый объем воды, можно представить в следующем виде.

Сила тяжести, действующая вертикально вниз, равна F_g = mg, а ее продольная составляющая, действующая вдоль уклона водной поверхности, равна

Fg= mg sin а = mgl, (2.17)

где а — угол между горизонтальной плоскостью и поверхностью воды; sin а = АН/Ах = / — уклон водной поверхности (величина без­размерная); АН— падение уровня вдоль участка Ах.

Центробежная сила действует лишь в случае изгиба траекторий движущихся частиц воды и направлена перпендикулярно потоку в сторону от центра кривизны (такой случай показан на рис. 2.3, в). Эта сила равна F_u = та_и, где а_и — центробежное ускорение, равное у¹/г (v— скорость течения воды, г—радиус изгиба потока), т. е.

F_u - mv²/r. (2.18)

Сила Кориолиса действует на любое движущееся тело и направ­лена перпендикулярно движению в Северном полушарии — вправо, в Южном — влево. Она равна F_K = та_к, где а_к — ускорение Кориоли­са, равное 2vco sin ф (со —угловая скорость вращения Земли, равная 271/86 400 = 7,27 • 10^-5 с^-1, ф — географическая широта места), т. е.

F_K = 2m ую sin ф. (2.19)

Масса выделенного объема т может быть представлена во всех этих формулах как т = pSh - pAxBh, где р — плотность воды; S — площадь верхней или нижней граней, равная Ах В.

Полное давление на все четыре вертикальные грани объема (S_b S₂, S₃ и S₄) должно быть отнесено к центрам этих граней. Оно равно P=Sp, где /7 —удельное давление на единицу площади, рав­ное pgh/2 + p_a (здесь р_й — атмосферное давление, Л/2 — половина глубины). Таким образом, для давления на всех четырех гранях {Р_х, Р_ъ Р₃ и Р₄) имеем сходные выражения:

P=S(pgh/2+p_a). (2.20)

Для движения воды имеет значение, однако, не столько давле­ние на грани выделенного объема, сколько разность давления на противоположные грани. Так, продольный градиент давления на передней S₂ и задней 5, гранях равен

А Р=Р₂-Р₁. (2.21)

Как видно из формулы (2.21), такой градиент давления (при условии неизменного вдоль потока атмосферного давления) может возникнуть лишь в двух случаях: вследствие разницы в глубине расположения центра обеих граней и вследствие изменения плот­ности воды вдоль потока. Если же Ah и Ар равны нулю, то отсут­ствует и градиент давления АР.

Примем, что слева и справа от направления движения выделен­ного объема характеристики движущейся воды (плотность, глуби­на) те же, что и в самом объеме. Поэтому в данном случае Р_Ъ = Р^ и поперечный градиент давления отсутствует.

Трение на дне Т_то равно: Г_дно = £_днот_дно, где S_mo = АхВ, а удельное трение (касательное напряжение) согласно законам гидродинамики может быть выражено следующим образом:

\но=/днору², (2.22)

^гД^е /то — коэффициент гидравлического сопротивления (трения). Экспериментами установлено, что при ламинарном движении f_mo зависит от числа Рейнольдса: /_шо= а/Re, а при турбулентном — не зависит. Поэтому, раскрыв значение Re по формуле (2.8), полу­чаем для касательного напряжения на дне т_дно при ламинарном режиме

Vo= яру²/Re = apvv/h. (2.23)

Для турбулентного режима свою силу сохраняет формула (2.22).

В формулах (2.22) и (2.23) f_mo и а — коэффициенты, определя­емые опытным путем. Коэффициент трения f_mo зависит от шерохо­ватости поверхности дна и обычно изменяется от 1 • Ю ³ до 8 • 10^-3; а = 3.

Обращает на себя внимание тот факт, что касательное напря­жение на дне при ламинарном движении зависит от скорости те­чения в первой степени и вязкости, а при турбулентном — от ско­рости течения во второй степени и не зависит от вязкости.

Таким образом, для ламинарного и турбулентного режимов движения воды получим соответственно два разных выражения для трения на дне:

Т_то = S_moapvv/h, (2.24)

Т_то = S_mo f_{w 0}pv², (2.25)

где S_mo = AxB.

Трение на поверхности воды, обусловленное действием ветра, определяют по формуле 7^,_ветр = £_повт_вир, где

^ветр ^— ./ветр Рвозд COS \|/. (2.26)

Здесь /_ветр — коэффициент трения на границе раздела движущийся воздух — вода, равный приблизительно 2,6 • 10“³; р_возд — плотность воздуха (1,293 кг/м³ — при нормальном атмосферном давлении); W— скорость ветра, м/с; у — угол между направлением движения воды и направлением ветра. При попутном ветре cos\|/>0, при встреч­ном cos\|/<0; в последнем случае выражение для х_ветр получает отрицательный знак. Выражение для трения ветра на водной по­верхности таким образом будет следующим:

T_BeJV = S_n0B ./ветрРвозд W² COS \|/, (2.27)

где S_nos = AxB.

В рассматриваемом случае трение на левой и правой гранях объема (-5*3 и 5₄) отсутствует, поскольку по обе стороны выделен­ного объема вода движется с той же скоростью, что и внутри него.

Все перечисленные силы можно подразделить на активные и пассивные. Активные силы вызывают движение воды, пассивные (или вторичные) лишь сопутствуют движению воды. К активным силам относятся продольная составляющая сила тяжести, продоль­ный градиент давления, сила трения, если она обусловлена воздей­ствием ветра на водную поверхность. К пассивным силам, возни­кающим только при наличии движения, относятся сопутствующие движению сила трения на дне, центробежная сила, сила Кориолиса.