§ 16. Масштаб аэрофотоснимка

Пусть на снимке изобразился участок местности, представляющий собой горизонтальную плоскость. Если угол наклона снимка равен нулю (снимок горизонтальный), то масштаб его имеет постоянное значение. Масштаб наклонного снимка изменяется не только при переходе от одной его точки к другой, но и при изменении направ­ления с одной и той же точки.

Поэтому для определения масштаба снимка в какой-либо точке, например в точке т (рис. 32), по направлению φ следует взять отношение бесконечно малого отрезка, исходящего из этой точки и расположенного на данном направлении, к соответствую­щему отрезку на местности:

Обозначив проекции отрезков dl и dL на соответствующие ко­ординатные оси через dx, dy и dX, dY, напишем

Теперь используем формулы (31), выражающие зависимость между координатами соответственных точек местности и снимка. После дифференцирования этих выражений по переменным х и у найдем

Учитывая значения dX и dY, после простых преобразований по­лучим

представляют собой постоянные величины для данной точки снимка.

Следовательно, масштаб снимка зависит от высоты фотографи­рования, фокусного расстояния фотокамеры, угла наклона снимка, положения точки снимка, в которой взят бесконечно малый эле­мент dl, и от направления этого элемента.

Направления φ_п, соответствующие максимальному и мини­мальному значениям масштаба в данной точке снимка, можно найти по формуле

которая получается из выражения (45) по известному из матема­тики правилу вычисления предельных значений функции.

Пусть от какой-либо точки снимка по различным направле­ниям отложены соответствующие значения масштабов. Из мате­матической картографии известно, что линия, соединяющая концы построенных таким образом отрезков, представляет собой эллипс масштабных искажений. При этом большая и малая полуоси эл­липса изображают предельные значения масштабов в данной точке.

На рис. 33 представлен снимок, в различных точках которого построены эллипсы масштабных искажений. Формат снимка 24Х 18 см, α_о = ЗО°, = 0, f = 200 мм. Значение масштаба в точке ну­левых искажений принято за единицу.

Такое построение, состоящее из индикатрис масштабных иска­жений, дает наглядную картину изменений масштаба в пределах всего снимка.

Для снимков, имеющих другие значения угла наклона и фокус­ного расстояния, индикатрисы масштабных искажений будут иметь несколько иной вид, но общий характер масштабных изме­нений сохранится.

Найдем значения масштаба снимка для частных случаев.

1. Масштаб горизонтального снимка (α_о=О). Согласно выра­жениям (46) в этом случае =1, с = 0. Поэтому формула (45) при­нимает вид

Отсюда следует, что масштаб горизонтального снимка плоской местности — величина постоянная.

2. Масштаб наклонного снимка в точке нулевых искажений

Подставив эти значения координат точки нулевых искажений в равенства (46), получим k=1 и с= О. Затем по формуле (45) придем к выражению (47), т. е, масштаб наклонного снимка в точке нулевых искажений равен масштабу горизон­тального снимка. Поэтому масштаб в точке нулевых искажений называется главным масштабом снимка.

3. Масштаб наклонного снимка в главной точке (х = 0, у = 0) =cosα_o , с = 0:

Отсюда следует, что масштаб в главной точке мельче главного масштаба. Этот вывод демонстрирует и рис.33

Это равенство показывает, что масштаб в точке надира круп­нее главного масштаба.

5. Масштаб в точке наклонного снимка по направлению гори­зонтали (φ = 0):

Следовательно, масштаб данной горизонтали (у = const)—ве­личина постоянная.

Масштаб главной горизонтали (y = 0)

6. Масштаб по направлению главной вертикали (х= 0,φ = 90°):

т. е. изменяется при переходе от одной точки этой линии к другой.

7. Масштаб планового снимка. Угол наклона планового снимка обычно меньше 2°. Поэтому равенства (46) можно представить в таком виде:

Подставив эти значения k и с в выражение (45), получим мас­штаб планового снимка в произвольной точке по направлению φ:

Найдем средний масштаб планового снимка в произвольной точке:

Рассмотрим две горизонтали на плановом снимке, определяе­мые координатами у=±а (рис. 34). Как следует из выражения

(54), средний масштаб в точках первой горизонтали (у = а) отли­чается от среднего масштаба в точках второй горизонтали (у = - а) и от главного масштаба снимка f : Н. Однако, среднее ариф­метическое из средних масштабов для этих симметричных гори­зонталей равно главному масштабу снимка.

Поэтому можно считать, что средний масштаб планового снимка в зоне, ограниченной симметричными горизонталями, ра­вен отношению f : Н.