§ 67. Аналитическая маршрутная фототриангуляция

Различают три основных способа аналитической маршрутной фо­тотриангуляции: способ связок, способ частично зависимых мо­делей и способ независимых моделей.

Способ связок. Существенная особенность этого способа со­стоит в одновременном построении и уравнивании фотограммет­рической сети по всем снимкам данного маршрута.

В качестве исходных в способе связок используются уравне­ния коллинеарности (28), выражающие зависимость между коор­динатами точки снимка и координатами соответствующей точки местности.

Полагая, что приближенные значения координат точек мест­ности и элементов внешнего ориентирования снимка известны, приведем уравнения (28) к линейному виду с целью решения за­дачи по способу наименьших квадратов. В результате получим:

где δX_S, δY_S, δZ_S, δα, δω, δ — поправки к приближенным значе­ниям неизвестных; a, b, … , m´ — частные производные от функ­ций (28) по соответствующим переменным; x, у— измеренные координаты точки снимка; х_в, у_в — координаты той же точки снимка, вычисленные по формулам (28) с использованием при­ближенных значений неизвестных; v, v´ — поправки к измерен­ным координатам х и у.

При этом считается, что элементы внутреннего ориентирова­ния (фокусное расстояние фотокамеры и координаты главной точки снимка) известны и определены с достаточной точностью в результате лабораторной или полевой калибровки аэрофотоап­парата.

Частные производные, находящиеся в уравнениях (176) перед поправками к элементам внешнего ориентирования, вычисляют по формулам (95). Остальные частные производные найдем после дифференцирования выражений (28) по переменным X, Y и Z:

Величина Z* определяется формулой (96).

В уравнениях (176) девять неизвестных — шесть поправок к приближенным значениям элементов внешнего ориентирования снимка и три поправки к приближенным значениям координат определяемой точки местности. Эти уравнения составляются для всех изображений определяемых и опорных точек местности, включенных в фотограмметрическую сеть.

Одно изображение точки сети дает два уравнения поправок (176). Следовательно, общее число уравнений поправок

М = 2т, (178)

где т — количество изображений точек сети.

В маршрутной фототриангуляции каждая точка сети изобра­жается на двух или трех снимках и дает четыре или шесть урав­нений поправок.

Общее число неизвестных в системе уравнений поправок

где п — количество снимков, использованных для построения сети, a k — число определяемых точек местности.

Фотограмметрическую сеть можно построить, если выполня­ется условие

Система уравнений поправок, составленная по формулам (176), решается методом последовательных приближений под условием [pv²+ p´v´²]= min, где р и р' — веса измеренных величин х и у. В результате решения опре­деляют элементы внешнего ориентирования снимков и коорди­наты новых точек местности. Кроме того, производят оценку точ­ности определения этих величин.

На рис. 94 показана схема маршрутной фототриангуляции. Треугольниками обозначены опорные точки, координаты которых получены геодезическими методами, квадратами и кружками — определяемые точки. Продольное перекрытие снимков 60%. На схеме показано количество изображений каждой точки сети на снимках. Общее число изображений m = 39. Число снимков n=5, количество определяемых точек k=11.

По формулам (178) и (179) находим общее число уравнений поправок М = 78 и общее число неизвестных N=63 в данной мар­шрутной сети.

Так как M>N, то эту сеть можно построить по способу свя­зок. При этом имеем 15 избыточных уравнений поправок, что обеспечивает надежную оценку точности построения маршрутной сети.

Способ частично зависимых моделей. Этот способ позволяет последовательно построить по стереопарам частично зависимые модели, соединяя их в общую модель, и ориентировать ее отно­сительно геодезической системы координат.

Для построения первой модели произвольно выбирают эле­менты внешнего ориентирования первого снимка данного мар­шрута, т. е. левого снимка первой стереопары. Затем определяют элементы взаимного ориентирования первой стереопары и вычис­ляют дирекционный угол и угол наклона первого базиса фотогра­фирования, а также элементы внешнего ориентирования правого снимка первой стереопары. При этом длину первого базиса фото­графирования выбирают произвольно. Зная элементы ориенти­рования снимков и координаты соответственных точек первой стереопары, находят координаты точек первой модели путем ре­шения прямых засечек. Аналогично создают вторую и последую­щие модели. Однако в качестве элементов внешнего ориентирова­ния левого снимка второй (последующей) стереопары принима­ются не произвольные величины, а полученные в результате обработки первой (предыдущей) стереопары. Выполнение этого условия обеспечивает построение всех моделей в единой системе координат, принятой для создания первой модели. При этом масштаб последующей мо­дели отличается от мас­штаба предыдущей, так как длину базиса фотографирова­ния выбирают произвольно при построении каждой мо­дели. Последующую модель приводят к масштабу преды­дущей по связующим точкам. Полученную таким образом общую модель ориентируют по опорным точкам, устраняя при этом деформацию модели.

Элементы взаимного ори­ентирования снимков (рис. 95) получим строгим способом, изложенным в гл. 8.

Дирекционный угол τ и угол наклона ν базиса фотографирования найдем по угло­вым элементам внешнего ориентирования левого снимка α₁, ω₁, и элементам взаимного ориентирования α´₁, ω´₁, Углы α₁, ω₁, определяют ориентирова­ние системы координат S₁xyz относительно системы S₁XYZ. Си­стемам соответствует матрица

элементы которой найдем по формулам (20).

Углы τ и ν получим по направляющим косинусам, как углы Эйлера. Для этого систему координат S₁xyz установим в положе­ние S₁x'y'z', при котором ось х' совпадает с базисом фотографи­рования, а ось z' находится в главной плоскости левого снимка S₁oS₂. Чтобы придать системе S₁xyz такое положение, повернем ее на углы и α₁´. Этим поворотам соответствует матрица

которая получается путем транспонирования матрицы

Элементы этих матриц найдем по формулам (20), полагая ω = 0, α = α' и = .

Взаимное положение систем координат S₁x'y'z' и S₁XYZ опре­деляет матрица

При введении углов а, со, к за основные оси приняты z и Z, а при использовании углов т и v — оси х w X. Учитывая это, нахо­дим, что углам а и со соответствуют углы —т и —v, которые оп­ределяем по формулам (22) путем циклической замены букв и индексов: а заменим на Ь, Ъ на с, с на а; индексы 1, 2, 3 — на 2, 3, 1. В результате получим

Угловые элементы внешнего ориентирования правого снимка найдем по угловым элементам внешнего ориентирования левого снимка и по элементам взаимного ориентирования.

Перенесем систему координат S₁x'y'z' параллельно из левого конца базиса S₁ в правый S₂ и повернем ее на углы (см. рис. 95). Тогда она совпадет с системой S₂xyz правого снимка. При этом ось z будет совмещена с главным лучом S₂o' правой связки. Положение системы S₂xyz относительно S₂XYZ определяет матрица

где

Элементы этой матрицы найдем по формулам (20), заменив α, ω, на

Учитывая матрицу (184), напишем

Теперь можно применить формулы (22) и получить

Приращения фотограмметрических координат правой точки фотографирования S₂ относительно левой S₁ (см. рис. 95) най­дем по формулам

где В — базис фотографирования.

Координаты правой точки фотографирования

Для построения модели приведем координаты соответственных точек стереопары к горизонтальным снимкам. Используя для этого формулы (43) и учитывая формулы (14), найдем

где X₁´, Y₁´, Z₁´ —пространственные координаты точки левого снимка, вычисленные по формулам (14) как функции плоских координат x₁, y₁ и элементов a_i1, b_i1, c_i1 матрицы (181); Х₂', Y₂', Z₂' — пространственные координаты точки правого снимка, вы­численные по формулам (14) как функции плоских координат х₂, y₂ и элементов матрицы (187); f— фокусное расстояние снимков.

Вычислим приращения координат каждой точки модели отно­сительно левой точки фотографирования. Для этого преобразуем формулы (105). Учитывая, что в данном случае Х_О = В_Х и Z_O = B_Z, Х'=хº, Y'=y°, Z' = —f, получим

Фотограмметрические координаты точек модели найдем по формулам

Аналогично построим вторую модель, используя в качестве элементов внешнего ориентирования левого снимка величины, по­лученные при создании первой модели.

Для приведения второй модели к масштабу первой найдем масштабный коэффициент

где D и D' — расстояния от точки фотографирования S₂ до свя­зующей точки на первой и второй моделях (рис. 96). Эти расстояния вычислим по разностям координат связующей точки и точки S₂:

Масштабный коэффициент следует определять по централь­ной и двум боковым связующим точкам, а в качестве вероятнейшего значения этой величины использовать среднее весовое.

Координаты точки фотографирования S₃ и всех точек второй модели в системе координат первой модели найдем по формулам

где B_x, B_Y, B_z — составляющие базиса фотографирования второй модели; ΔХ, ΔY, ΔZ — приращения координат точки второй мо­дели относительно точки S₂.

Аналогично построим и приведем к масштабу третью и осталь­ные, модели. В результате получим модель маршрута, имеющую одинаковый масштаб и единую систему координат.

Перейдем к внешнему ориентированию маршрутной сети по опорным точкам.

В общем случае фототриангуляционная сеть может иметь зна­чительную длину, простираясь в нескольких зонах системы коор­динат Гаусса. Начало и направления координатных осей этой системы устанавливаются отдельно для каждой зоны. Однако для внешнего ориентирования сети необходимо определить поло­жение опорных точек в единой системе координат. В качестве та­кой системы используем систему прямоугольных координат X_гY_гZ_гс началом в центре эллипсоида (рис. 97). Эти координаты назы­ваются геоцентрическими. Достоинство геоцентрической системы координат состоит в том, что она едина для всего эллипсоида.

Переход от координат Гаусса к геоцентрическим координа­там выполняется по формулам, известным из курса высшей гео­дезии.

При внешнем ориентировании длинной маршрутной сети необ­ходимо исключить деформации ее, возникшие в процессе построе­ния. Поправки за деформацию вводятся обычно с помощью по­линомов, для применения которых фотограмметрическая и гео­центрическая системы координат должны быть приблизительно параллельны. В общем случае это невозможно. Поэтому исполь­зуем промежуточную систему координат и установим ее так, чтобы координаты опорных точек в этой системе возможно меньше отличались от фотограмметрических. Затем найдем эле­менты ориентирования модели относительно промежуточной си­стемы координат. Зная эти элементы, вычислим координаты оп­ределяемых точек в промежуточной системе. Используя поли­номы, внесем поправки в эти координаты за деформацию модели. От исправленных координат точек сети в промежуточной системе перейдем к геоцентрическим, а затем к координатам Гаусса.

Начало промежуточной системы координат совместим с цент­ром тяжести опорных точек. Его координаты:

где L_i, B_i H_i — географические координаты опорных точек; п — число опорных точек. Ось Z_п совместим с нормалью к эллипсо­иду, а ось Х_п направим так, чтобы ее азимут А был приблизи­тельно равен оси X фотограмметрической системы координат.

Направляющие косинусы, характеризующие ориентирование промежуточной системы координат относительно геоцентриче­ской, найдем по формулам

Вычислим координаты опорных точек в промежуточной си­стеме

Начало фотограмметрических координат перенесем также в центр тяжести опорных точек. Его координаты:

Новые значения фотограмметрических координат:

Найдем масштабный коэффициент по опорным точкам

Эту величину получим по нескольким парам опорных точек. Вероятнейшее значение ее выведем как среднее весовое и исполь­зуем для приведения фотограмметрической сети к масштабу промежуточной системы

Полагая, что модель подобна местности, найдем элементы ориентирования ее Х_п.о, У_п.о, Z_п.о, ξ, η, θ относительно промежу­точной системы координат. Эту задачу решим по опорным точкам, применив способ, изложенный в гл. 8.

Затем вычислим координаты определяемых точек в промежу­точной системе:

где a_i, b_i, с_i, — направляющие косинусы, вычисляемые по форму­лам (20) путем замены α, ω, на ξ, η, θ.

Используя полиномы, найдем исправленные координаты оп­ределяемых точек в промежуточной системе

Коэффициенты А_i, B_i, C_i получим по опорным точкам, соста­вив и решив уравнения

Каждая опорная точка позволяет составить три уравнения (207) с 18-ю неизвестными. Следовательно, для определения коэффициентов A_i, В_i, C_i необходимо иметь не менее шести опор­ных точек.

От исправленных координат точек сети в промежуточной си­стеме перейдем к геоцентрическим координатам

Наконец, по геоцентрическим координатам получим коорди­наты Гаусса определяемых точек, применив формулы высшей геодезии.

Если маршрутная сеть короткая, то при внешнем ориентиро­вании ее нет необходимости применять геоцентрическую систему. В этом случае можно использовать только систему координат Гаусса, учитывая, что эта система левая, а система фотограммет­рических координат правая. В связи с этим следует перед внеш­ним ориентированием сети заменить координатные оси X и У си­стемы Гаусса на У и X, а в конце этого процесса произвести об­ратную замену.

Кроме того, после приведения сети к масштабу фотограммет­рические высоты точек необходимо исправить за влияние кри­визны Земли

где D — расстояние от середины сети до точки; R — радиус Земли.

Способ независимых моделей. По каждой стереопаре создается модель в локальной (базисной) системе координат и в произволь­ном масштабе. При этом порядок построения моделей тоже про­извольный.

Чтобы получить модель, измеряют координаты точек стерео­пары, включенных в фотограмметрическую сеть, определяют эле­менты взаимного ориентирования снимков и вычисляют коорди­наты точек модели. Созданные таким образом одиночные модели соединяют в общую модель с помощью связующих точек.

Для построения одиночной модели используем систему ко­ординат, ось X которой совме­щена с базисом фотографиро­вания, а плоскость XZ — с глав­ной базисной плоскостью левого снимка (рис. 98).

Элементы взаимного ориенти­рования снимков и найдем способом, изложен­ным в гл. 8.

Произвольно выбрав длину базиса фотографирования В, вы­числим фотограмметрические координаты точек модели по фор­мулам (106), представив их в виде

где x₁° и y₁º — трансформированные координаты точки левого снимка; р° — трансформированный продольный параллакс

Трансформированные координаты точек стереопары вычислим по формулам (43). При этом направляющие косинусы найдем по формулам (20): для левого снимка по элементам взаимного ориентирования α₁´, ω₁´= 0 и ; для правого — по .

Элементами внешнего ориентирования каждой независимой модели относительно геодезической системы координат OX_гY_гZ_г служат: координаты левой точки фотографирования в системе OX_гY_гZ_г т. е. величины Х_о, Y_o, Z_o; углы ξ, η и θ, определяющие направления осей координат фотограмметрической системы отно­сительно геодезической, и масштабный коэффициент t.

Найдем эти элементы, полагая, что приближенные значения их и геодезических координат определяемых точек известны.

Для этого составим уравнения (139) для каждой одиночной модели. Пусть каждая независимая модель имеет 8 точек — 2 центра проекции и 6 точек на поверхности модели, из которых часть является опорными. Каждая точка дает три уравнения (139). Следовательно, для каждой модели получим 24 уравнения поправок, а количество уравнений поправок для всей маршрутной сети

где п — число одиночных моделей.

Общее число неизвестных в системе уравнений поправок: N= 7n + 3,4(n+1) — 3k или

где k — число опорных точек.

Уравнения поправок решим по способу наименьших квадратов путем последовательных приближений. В результате решения по­лучим элементы внешнего ориентирования всех моделей и геоде­зические координаты определяемых точек местности. Пусть п = 10, k = 6, тогда M = 240, а N=184.

Общую модель можно построить и путем последовательного соединения одиночных моделей. В этом случае первая модель при­нимается за исходную и к ней присоединяется вторая модель. Для определения семи элементов ориентирования второй модели от­носительно первой составляются уравнения (139) для четырех связующих точек, которыми служат центр проекции S₂ и три точки на поверхности модели. При этом образуется 12 уравнений поправок с 7-ю неизвестными.

Решив эти уравнения, вычисляют по формулам (137) коорди­наты точек второй модели в системе координат первой модели.

Аналогично присоединяют третью и другие модели. Получен­ная таким образом общая модель ориентируется по опорным точ­кам относительно геодезической системы координат по методике, принятой для способа частично зависимых моделей.